この問題は、いきなり長さを計算する問題ではない。最初に見るべきものは、AD=CD と BF=DF である。
どちらも「同じ長さ」という情報だが、図形問題ではまず「二等辺三角形がある」という意味に読み替える。二等辺三角形が見えれば、角度が動く。角度が動けば、GOサインを出せる。
令和8年度 共通選抜 追検査｜神奈川県公立高校入試 数学
問3（ウ） 図形
図に書き込んだ状態
図3（GOサインを出す判断まで）
気づき方｜長さを角度に変える
▶AD=CD なので、△ADC は二等辺三角形。よって \(\angle DAC = \angle DCA\)。
▶BF=DF なので、△BFD も二等辺三角形。よって \(\angle FBD = \angle BDF\)。
▶△ABC は直角三角形。さらに BE⊥AC なので、Bの角度もA・Cの角度と連動する。
▶DE は AC にも BC にも垂直ではない。最後は、補助線で直角三角形を作り、三平方の定理で求めると読む。
ここでGOサイン
二等辺三角形が2つ見え、直角が2つ見えている。角度を入れれば、特殊角が出る可能性が高い。
さらに、答えの形に平方根がある。これは、最後に三平方の定理を使う問題だと判断してよい。
角度を入れる
角度整理約30秒
まず、△ADC が二等辺三角形なので、底角を同じ記号でおく。
\(\angle DAC = \angle DCA = \bigcirc\) とする。
角度の流れ
二等辺AD=CD より、\(\angle DAC = \angle DCA = \bigcirc\)
外角DはBC上にあるので、\(\angle ADB = 2\bigcirc\)
二等辺BF=DF より、\(\angle FBD = \angle BDF = 2\bigcirc\)
直角BE⊥AC なので、\(\angle EBD = 90^\circ - \bigcirc\)
一致\(\angle FBD = \angle EBD\) だから、\(2\bigcirc = 90^\circ - \bigcirc\)
結果\(3\bigcirc = 90^\circ\)、よって \(\bigcirc = 30^\circ\)
ここで、△ABC は 30°-60°-90° の直角三角形だとわかる。
注意｜Fは何者か
△ABD は直角三角形で、Fは斜辺AD上にある。さらにBF=DFなので、Fは斜辺ADの中点である。つまり、直角三角形の斜辺の中点の性質により、FA=FB=FDとなる。ここは「直角三角形の外接円の中心」と見てもよい。
長さを出す
長さ整理約40秒
AB=8cm。△ABC は 30°-60°-90° の直角三角形なので、ACはABの2倍である。
基本の長さ
斜辺\(AC = 16\)
二等辺AD=CD なので、DはACから見て左右対称の位置にある。
補助線を引く
補助線約20秒
DからACに垂線をおろし、その交点をHとする。
この補助線は、DEを直角三角形の斜辺にしたいから引く。DEがそのままでは直角三角形に入っていないので、DからACに垂線をおろして、△DHEを作る。
Hを使った長さ
中点AD=CD なので、HはACの中点。よって \(AH=HC=8\)
垂線の足EはBからACにおろした垂線の足。直角三角形の相似より、\(AE=\dfrac{AB^2}{AC}=\dfrac{8^2}{16}=4\)
差\(EH=AH-AE=8-4=4\)
高さ△ADH は 30°-60°-90°。よって \(DH=\dfrac{8}{\sqrt{3}}\)
三平方の定理でDEを求める
計算約40秒
△DHE は直角三角形で、求めたいDEは斜辺である。
三平方
式\(DE^2 = EH^2 + DH^2\)
代入\(DE^2 = 4^2 + \left(\dfrac{8}{\sqrt{3}}\right)^2\)
整理\(DE^2 = 16 + \dfrac{64}{3} = \dfrac{112}{3}\)
平方根\(DE = \sqrt{\dfrac{112}{3}} = \dfrac{4\sqrt{21}}{3}\)
答え \(DE = \dfrac{4\sqrt{21}}{3}\) cm
したがって、う = 4、え = 2、お = 1、か = 3
この問題で見るべきこと
この問題は、最初からDEを追いかけると見えにくい。まず、AD=CD、BF=DFを見て、二等辺三角形を見つける。
二等辺三角形は、長さの情報ではなく、角度を動かす情報である。角度が動けば、30°-60°-90°が見える。ここまで来れば、捨て問ではなく、進む問題になる。
最後は、DEを直角三角形の斜辺にするために、DからACへ垂線をおろす。補助線はひらめきではなく、「三平方を使う形を作る」という目的から自然に出てくる。