正答率0.4%の問題である。難問ではない。基本のルーチンの連鎖が見えるかどうかだけの問題である。
無理に計算を省略している箇所もあるが、目的は時間短縮だけではない。計算そのものにかかる時間は大したことがなくても、数値の細部を気にする精神的負荷と、確認のための検算が丸ごと不要になる。
令和8年度 共通選抜 本検査｜神奈川県公立高校入試 数学 正答率 0.4%
問3（ア） 相似の証明と線分の長さ
（i） 証明の穴埋め
（a）
\(\triangle ABC\) と \(\triangle CDF\) において、\(AB \parallel CD\) より平行線の錯角は等しいから、(a) よって、\(\angle BAC = \angle DCF\)
- 1.\(\angle ACD = \angle AED\)
- 2.\(\angle AFD = \angle CFE\)
- 3.\(\angle BAC = \angle DCA\)
- 4.\(\angle BAE = \angle BCE\)
\(AB \parallel CD\) の錯角を示す等式が入る。図に角度の印をつけると逆にわかりにくくなる問題である。\(\angle BAC\) と \(\angle DCF\) が錯角の関係にあるのは直接ではない。錯角なのは \(\angle BAC\) と \(\angle DCA\) である。3. が正しい。
答え 3.
（b）
①、⑤より、(b) から、\(\triangle ABC \backsim \triangle CDF\)
- 1.1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
- 2.2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- 3.3組の辺の比がすべて等しい
- 4.2組の角がそれぞれ等しい
証明の流れには角度の話しか出ていない。辺の条件は一切登場していない。何も考えずに 4. を選べる。
答え 4.
（ii） 線分 DE の長さ
\(AB = 5\) cm、\(CD = 3\) cm のとき、線分 DE の長さを求める。
気づき方｜図を見てすべきことを思い浮かべる連鎖>直角三角形連鎖術
▶
半径を使っている または 長方形・正方形の角を使っている
→ 直角三角形が見える
→ 直角三角形が見える
▶
直角三角形がある → 三平方の定理を使う
▶
1辺のみわかっている → 残り2辺の比か差が分かるはず
ここで分岐
長さの情報が多い → 2辺を同じ変数で表せないか
長さの情報が少ない → 比を使ってみる
なぜ解説を読んでわかった気になるのに、次の問題で使えないのか
他の解説は「ACを⑤とおくと…」という書き方をする。これはすでに⑤とおくことが決まった後の世界を記述している。読んだ生徒は「なるほど⑤とおくのか」と思う。しかし次の初見問題で、⑤とおくという決断をする場面に立てない。
この決断は、上の連鎖から自動的に出てくる。半径がある→直角三角形→三平方を使う→比で持つ。この連鎖が走った結果として、ACを⑤と置くことが決まる。連鎖ごとルーチン化することで、初見問題でも同じ判断ができるようになる。
北川式が気づきまでルーチン化することを目標とするのは、このためである。
図1 各辺の比を書き込んだ状態
計算の流れ
比の設定
AC を⑤と置く
三平方を使うので比で持つ。\(AB = 5\) に対応。
CD は③
\(CD = 3\) に対応。\(\triangle ABC \backsim \triangle CDF\) の相似比は \(5:3\)。
CF は③
相似比より \(CF = CD = 3\)（比で③）。
AF は②
\(AC - CF = ⑤ - ③ = ②\)。
CE は⑤
\(AC = CE\)（二等辺三角形 CAE）。よって CE も⑤。
3・4・5 の直角三角形の発見
CF = ③、CE = ⑤
\(\angle CFE = 90°\) なので、\(CF:CE = 3:5\) の直角三角形。
FE = ④
三平方の定理より \(\sqrt{5^2 - 3^2} = 4\)。比で④。
\(\triangle AEF\)
\(AF = ②\)、\(FE = ④\) より \(1:2:\sqrt{5}\) の直角三角形。
DE の長さの計算
\(\triangle CDF \backsim \triangle AEF\)
相似比 \(3:4\)（CF:FE）。
DF = 1.5
\(AF = ②\) に対して \(DF\) は \(\dfrac{3}{4} \times 2 = \dfrac{3}{2}\)。
実長に変換
比①は \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) cm。\(\sqrt{5^2 - 2^2}\) などから確認。
DE
\(DF + FE\) の実長。\(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{5}} + 4 \times \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}} + \dfrac{8}{\sqrt{5}} = \dfrac{11}{\sqrt{5}} = \dfrac{11\sqrt{5}}{5}\) cm。
答え \(\dfrac{11\sqrt{5}}{5}\) cm