問2は、計算を最後までやり切る問題ではない。選択肢・符号・変化量・比・平方数を見て、答えを決めるために必要な情報だけを取りに行く問題群である。
目標時間は大問全体で3分。正面から解くのではなく、選択肢を先に見て、どこまで計算すれば番号が決まるかを判断する。
令和8年度 共通選抜 本検査｜神奈川県公立高校入試 数学
問2 選択肢問題｜全部計算せず、必要な情報だけを取りに行く
問 2 各問の解説
次の問いに対する答えとして正しいものを，それぞれあとの 1 ～ 4 の中から 1 つずつ選び，その番号を答えなさい。
（ア）
連立方程式 \(\begin{cases}3x+2y=6\\ \dfrac{1}{5}x-\dfrac{1}{4}y=5\end{cases}\) を解きなさい。
- 1.\(x=4,\ y=-3\)
- 2.\(x=5,\ y=-16\)
- 3.\(x=6,\ y=-6\)
- 4.\(x=10,\ y=-12\)
選択肢は、\(x\) も \(y\) もすべて異なる。だから、どちらか一方が分かれば答えは決まる。
ここでは \(y\) を消す。上の式を8で割ると、\(\dfrac{3}{8}x+\dfrac{1}{4}y=\dfrac{3}{4}\)。これを下の式と足す。
\(\left(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{5}\right)x=\dfrac{3}{4}+5\)。係数は \(\dfrac{23}{40}\)、右辺は \(\dfrac{23}{4}\)。よって \(x=10\)。
答え 4.
（イ）
2次方程式 \(x^2+9x-1=0\) を解きなさい。
- 1.\(x=\dfrac{-9\pm\sqrt{85}}{2}\)
- 2.\(x=\dfrac{-9\pm\sqrt{77}}{2}\)
- 3.\(x=\dfrac{9\pm\sqrt{77}}{2}\)
- 4.\(x=\dfrac{9\pm\sqrt{85}}{2}\)
まず、\(x\) の係数が \(+9\) なので、解の公式の分子は \(-9\) から始まる。これで 3・4 は消える。
ルートの中は \(9^2-4\times1\times(-1)\)。負の数を引くので、\(81\) より増える。したがって \(85\)。
答え 1.
（ウ）
\(x\) の値が2から4まで増加するとき、2つの関数 \(y=ax^2\) と \(y=5x+1\) の変化の割合が等しくなるような \(a\) の値を求めなさい。
- 1.\(a=\dfrac{3}{5}\)
- 2.\(a=\dfrac{5}{6}\)
- 3.\(a=\dfrac{6}{5}\)
- 4.\(a=\dfrac{5}{3}\)
変化の割合を見るとき、\(y\) 切片は考えなくてよい。見るのは、\(x\) が2から4に増えたときの \(y\) の増え方である。
\(x^2\) は \(4\) から \(16\) に増えるので、増加量は \(12a\)。\(x\) の増加量は2だから、変化の割合は \(6a\)。
一次関数 \(y=5x+1\) の変化の割合は \(5\)。よって \(6a=5\)。
答え 2.
（エ）
自然数 \(a,b,c\) において、\(b\) は \(a\) を2倍した数であり、\(c\) は \(b\) を3倍した数である。\(a\) と \(b\) と \(c\) の和が252となるとき、\(a\) の値を求めなさい。
- 1.\(a=14\)
- 2.\(a=21\)
- 3.\(a=28\)
- 4.\(a=48\)
\(b\) と \(c\) を \(a\) に直す。\(b=2a\)、\(c=3b=6a\)。
つまり、\(a,b,c\) の合計は \(1a+2a+6a=9a\)。\(252\div9\) なので、答えの一の位は8になる。
選択肢で一の位が8なのは、\(28\) だけである。
答え 3.
（オ）
\(\dfrac{1050}{n}\) が自然数の平方となるような、最も小さい自然数 \(n\) の値を求めなさい。
- 1.\(n=10\)
- 2.\(n=21\)
- 3.\(n=25\)
- 4.\(n=42\)
\(1050\) は偶数だが、4の倍数ではない。つまり、素因数 \(2\) が1個不足しているので、\(n\) に \(2\) が必要である。
また、\(1050\) は3の倍数だが、9の倍数ではない。つまり、素因数 \(3\) が1個不足しているので、\(n\) に \(3\) が必要である。
したがって、\(n\) は少なくとも6の倍数でなければならない。
選択肢を見ると、6の倍数は \(42\) だけである。
よって、答えは 4. である。
答え 4.
（カ）
三角形 \(ABC\) は \(AB=AC\) の二等辺三角形であり、2点 \(B,C\) は直線 \(\ell\) 上の点である。\(AB=AC=5\) cm、\(BC=6\) cm のとき、この二等辺三角形を直線 \(\ell\) を軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし、円周率は \(\pi\) とする。
- 1.\(16\pi\ \mathrm{cm^3}\)
- 2.\(32\pi\ \mathrm{cm^3}\)
- 3.\(64\pi\ \mathrm{cm^3}\)
- 4.\(96\pi\ \mathrm{cm^3}\)
選択肢はすべて「\(\pi\) つき」で並んでいる。だから、\(\pi\) は最後まで書かなくてよい。見るべきなのは、\(\pi\) の前の数だけである。
二等辺三角形なので、頂点 \(A\) から \(BC\) に下ろした高さは \(BC\) を半分に分ける。半分は3 cm。\(AB=5\) cm だから、\(3:4:5\) より高さは4 cm。
回転すると、半径4 cm、高さ3 cmの円すいが上下に2個できる。円すい1個の \(\pi\) の係数は、\(\dfrac{1}{3}\times4^2\times3=16\)。
同じ円すいが2個あるので、\(16\times2=32\)。
答え 2.