無理に計算を省略している箇所もあるが、目的は時間短縮だけではない。計算そのものにかかる時間は大したことがなくても、数値の細部を気にする精神的負荷と、確認のための検算が丸ごと不要になる。
令和7年度 共通選抜 本検査｜神奈川県公立高校入試 数学
問2
解説
（ア）
\( (x-5)^2 - 7(x-5) - 18 \) を因数分解しなさい。
- 1.\( (x-14)(x-7) \)
- 2.\( (x-14)(x-3) \)
- 3.\( (x-7)(x-4) \)
- 4.\( (x-4)(x-3) \)
使用パターン
必要情報限定法（定数項限定）
判断
\(x-5 = t\) とおくと \(t^2-7t-18=(t-9)(t+2)\)。\(t\) を戻すと \(x=14\) または \(x=3\)。定数項の積で確認。
処理
定数項：\(-14 \times (-3) = 42\)。選択肢 2. の定数項 \((-14)(-3)=42\)。
答え 2.
（イ）
2次方程式 \( 5x^2 + 7x + 1 = 0 \) を解きなさい。
- 1.\( x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{29}}{10} \)
- 2.\( x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{69}}{10} \)
- 3.\( x = \dfrac{7 \pm \sqrt{29}}{10} \)
- 4.\( x = \dfrac{7 \pm \sqrt{69}}{10} \)
判断
分子の符号は \(-7\) なので 1. か 2. に絞られる。
処理
ルートの中：\(7^2 - 4 \times 5 \times 1 = 49 - 20 = 29\)。
答え 1.
（ウ）
関数 \( y = -4x^2 \) について、\( x \) の値が \(-5\) から \(-1\) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
- 1.\( -24 \)
- 2.\( -16 \)
- 3.\( 16 \)
- 4.\( 24 \)
使用パターン
数直線イメージ法
判断
変化の割合 \(= -4(x_1 + x_2) = -4 \times (-5+(-1)) = -4 \times (-6) = 24\)。
確認
\(y=-4x^2\) で \(x\) が負の範囲から増加する→ \(y\) は減少する→変化の割合は負。よって \(-24\)。
答え 4. \(-24\)
（エ）
正答率 40.3%
ある工場で生産している製品Aについて、今週と先週に生産した個数を比べると、今週は先週より1割増え、今週と先週に生産した個数をあわせると567個だった。このとき、この工場で今週に生産した製品Aの個数を求めなさい。
- 1.270個
- 2.283個
- 3.284個
- 4.297個
使用パターン
入力制約系（数の性質で絞る）
判断
先週を \(x\) とすると今週は \(1.1x\)。合計 \(2.1x = 567\)。
処理
567 を 7 で割ると 81。81 を 3 で割ると 27。先週 = 270 個。今週 = \(270 \times 1.1 = 297\) 個。
正答率 40.3% の理由
方程式を立てずに「今週が先週より多い」という情報だけで選択肢を絞ろうとする生徒が多い。1割増しという条件を正確に式にして、7で割って3で割るという手順を踏めば一意に決まる。
答え 4. 297個
（オ）
\( 4 < \sqrt{n} < 5 \) をみたす自然数 \(n\) のうち、\( \sqrt{2n} \) が整数となるような \(n\) の値を求めなさい。
- 1.\( n=12 \)
- 2.\( n=18 \)
- 3.\( n=24 \)
- 4.\( n=32 \)
使用パターン
入力制約系（素因数の性質で絞る）
判断
\(16 < n < 25\)。1. は \(n=12\) で範囲外。4. は \(n=32\) で範囲外。1. と 4. は消去。
処理
残り 2.(\(n=18\)) と 3.(\(n=24\))。\(\sqrt{2n}\) が整数 → \(2n\) が平方数。\(2 \times 18 = 36 = 6^2\)。\(2 \times 24 = 48\) は平方数でない（3の因子が奇数乗）。
答え 2. \(n=18\)
（カ）
四角形 ABCD は AD∥BC、∠BCD = 90° の台形で、AD = 2cm、BC = CD = 3cm。直線 \(\ell\) を軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし、円周率は \(\pi\) とする。
- 1.\( 13\pi\ \text{cm}^3 \)
- 2.\( 15\pi\ \text{cm}^3 \)
- 3.\( 19\pi\ \text{cm}^3 \)
- 4.\( 25\pi\ \text{cm}^3 \)
使用パターン
乗除約分法 ／ 直角三角形連鎖術
判断
大きい円錐（半径3・高さ9）から小さい円錐（半径2・高さ6）を引く。5:12:13 の直角三角形より高さは底辺の3倍。
処理
\(\dfrac{\pi}{3}(3^2 \times 9 - 2^2 \times 6) = \dfrac{\pi}{3}(81 - 24) = \dfrac{57\pi}{3} = 19\pi\)。3 を約分してから計算する。
答え 3. \(19\pi\ \text{cm}^3\)