単元名ではなく構造で解く
食塩水に隠れた鶴亀算型の問題

食塩水の問題を見ると、多くの生徒はまずこう考える。

中学受験を経験していない生徒は「方程式を立てよう」。中学受験を経験している生徒は「天秤法を使おう」。

どちらも間違いではない。しかし、この問題で本当に大切なのは、どの解法で解くかではない。

この問題の構造が何かを見ることだ。

結論から言えば、この問題は食塩水の問題に見えるが、構造としては鶴亀算型の問題だ。

令和6年度 神奈川県公立高校入試 数学 本検査 問3（エ）を題材にする。

「4％の食塩水300gが入ったビーカーから、食塩水agを取り出した。その後、ビーカーに残っている食塩水に食塩agを加えてよくかき混ぜたところ、12％の食塩水になった。このとき、aの値として正しいものを次の1〜8の中から1つ選び、その番号を答えなさい。」

方程式を立てようとすると意外と手間がかかる。天秤法を知っていても、どう置くか迷う。

なぜか。解き方が悪いのではなく、最初に作った「枠」が問題の形と合っていないからだ。

「食塩水の問題だから、濃度・重さ・食塩量の関係式を立てる」という枠で読み始めると、取り出して加えるという操作を全部式にしようとする。式は立つが、重くなる。

この問題の本当の形は、2種類のものを混ぜて別の濃度を作る、つまり小学校で習った置き換え（鶴亀算）だ。枠を作り直すだけで、解き方は変わる。

まず、食塩水が何グラムできたかを確認する。

解法が見えるのは、解法をたくさん暗記しているからではない。問題文を見たときに、まず「何算か」を探しているのではなく、何が変わらないか、何が変わったか、何と何の差が効いているかを見ているからだ。

鶴亀算は小学校で「置き換え」として習った。全部これだったら、実際との差はいくつか、1つあたりの差はいくつか、を見る考え方だ。

これは鶴亀算を無理やり当てはめているのではない。三つの問いに答えたら、自然に鶴亀算の構造になったのだ。鶴亀算を思いついたのではなく、鶴亀算に見えるところまで問題文を削ったのだ。

どの解法でも、結局は「4％と100％の差によって、24gの食塩増加を作る」という構造にたどり着く。違うのは、そこへ入るまでの見方だ。

選択肢がある場合は、総当たりで代入する必要はない。構造を見たうえで候補を絞り、確認すれば十分だ。

増えた食塩は24g。置き換えた量はほぼ24gより少し多いはずなので、25gを試す。

この問題について複数の生成AIに確認したところ、判断が分かれた。

4％の食塩水 ag が100％の食塩 ag に置き換わったという構造を認識し、鶴亀算型として正しく解いたAIがある一方で、食塩水問題を「濃度・重さ・食塩量の関係式を立てる問題」というフレームで固定してしまい、鶴亀算ではないと判断した例もあった。

ここから分かるのは計算力の差ではない。問題をどのフレームで見るかの差だ。AIも方程式を知っている。天秤法も知っている。鶴亀算も知っている。しかし、最初のフレームを誤ると、正しい構造が見えないことがある。

これは人間の生徒にも同じことが起こる。中学受験を経験していない生徒は「食塩水だから方程式」。経験している生徒は「食塩水だから天秤法」。この問題で本当に見るべきなのは、食塩水という単元名ではなく、総量が変わらないこと、食塩量が増えたこと、濃度差が効いていること、この三つだ。

数学の難しさは、計算の難しさとは限らない。この問題は一元一次方程式で解ける。しかし、式を立てる前に整理すべきことがある。

何が変わらないのか。何が変わったのか。何と何の差が効いているのか。どの情報を消すべきなのか。どの操作に引っ張られてはいけないのか。

ここを整理しないまま式に入ると、簡単な一元一次方程式のはずなのに迷う。これは連立方程式の文章題でも同じだ。連立方程式が解けないのではなく、連立方程式にする前に何と何を対応させるかが見えていないのだ。

だから北川式では、いきなり解法名を探さない。食塩水だから天秤法、文章題だから方程式、と決める前に、問題文から余計なものを消す。構造を露出させる。

この問題で消すべきものは、取り出した残像と混ぜた幻覚だ。残すべきものは、総量300gが変わらないこと、食塩量が24g増えること、4％のものが100％のものに置き換わること。ここまで見えれば、解法は自然に決まる。