この問題は、方程式でも天秤法でも解ける。しかし、構造を見ると鶴亀算型の問題だ。
解法を選ぶのは単元名ではなく、問題の構造だ。その考え方を、この問題を題材に見ていく。
令和6年度 共通選抜 本検査｜神奈川県公立高校入試 数学
問3（エ） 食塩水なのに鶴亀算？
問題
エ) 4%の食塩水 300gが入ったビーカーから、食塩水agを取り出した。その後、ビーカーに残っている食塩水に食塩agを加えてよくかき混ぜたところ、 12%の食塩水になった。
このとき、の値として正しいものを次の1~8の中から1つ選び、その番号を答えなさい。
1. a=18 2. a=20 3. a=21 4. a=24
5. a=25 6. a=28 7. a= 30 8. a=3
構造の見方｜何が変わらないかを先に見る
▶取り出した量も加えた量も同じ a g。だから総量300gは変わらない。
▶4％の食塩水 a g が、100％の食塩 a g に置き換わった。
▶食塩量は12gから36gに増えた。増加は24g。
▶1g置き換えるたびに0.96g増える。24 ÷ 0.96 = 25。
問題を整理する
まず、食塩水が何グラムできたかを確認する。
300g から a g 取り出し、食塩 a g を加えている。
食塩水の総量
取り出した後\(300 - a\) g
食塩を加えた後\((300 - a) + a = 300\) g
取り出した量と加えた量が同じ a だから、総量は300gのまま変わらない。
ここで注目したいのは、4％の食塩水 a g がなくなり、100％の食塩 a g が入ったという点だ。
取り出して加えるという操作はもう終わっている。手元にあるのは「(300−a)g の4％食塩水」と「ag の食塩」だけだ。
読み替え
この問題は、次のように読み替えられる。
4％の食塩水と食塩（100％）を合わせて、12％の食塩水300gを作った。食塩は何g使ったか。
取り出した手順も、同じ容器でのやりとりも、もう関係ない。4％の食塩水と食塩が手元にある。それだけ。
鶴亀算で解く（主役）
（エ）約40秒
もし全部4％の食塩水だったら、食塩は何gか。実際との差はどこから来るか。
鶴亀算型
変わらないもの総量 \(300\) g
全部4％なら食塩量 \(300 \times 0.04 = 12\) g
実際は12％なので食塩量 \(300 \times 0.12 = 36\) g
増えた食塩\(36 - 12 = 24\) g
1g置き換えると4％→100％で \(1 \times (1 - 0.04) = 0.96\) g 増える
置き換えた量\(0.96a = 24\) → \(a = 25\)
答え 5.
方程式で解く
問題文に素直な式はこれだ。
分母は食塩水の総量、分子は食塩の量。
方程式
立式\(\dfrac{0.04(300-a)+a}{300-a+a}=0.12\)
分母を整理\(\dfrac{0.04(300-a)+a}{300}=0.12\)
両辺×300\(12 - 0.04a + a = 36\)
整理\(0.96a = 24\) → \(a = 25\)
方程式は正確だが、立式前に迷いやすい
一元一次方程式なので計算自体は簡単だ。しかし同じ a が「取り出す量」「加える量」「残った食塩水の量」として式のあちこちに出てくる。立式までの認知負荷が低くない。
天秤法でも解ける
読み替えが完了していれば、4％と100％を天秤にかけることができる。
天秤法
支点12％
低い側の腕\(12 - 4 = 8\)
高い側の腕\(100 - 12 = 88\)
重さの比\(4\%側：100\%側 = 88：8 = 11：1\)
合計12個分が300g\(300 \div 12 = 25\) → \(a = 25\)
天秤法は速いが、読み替えが前提
問題文には「取り出してから食塩を加えた」と書いてある。天秤に乗せるには、この操作を消して最終状態だけを見直す必要がある。「取り出した残像」と「混ぜた幻覚」が、天秤図を見えにくくする。読み替えができれば速い。
この問題で本当に見るべき三つ
構造を見る三つの問い
- 何が変わらないか → 総量300g
- 何が変わったか → 食塩量が12gから36gに（24g増加）
- 何と何の差が効いているか → 4％と100％の濃度差96％
この三つが見えた瞬間、鶴亀算の枠が自然にはまる。
解法を知っていることと、解法が見えることは違う。北川式では、問題文を削り、構造を露出させてから解法を選ぶ。
選択肢がある場合の確認
概算で候補の見当をつけ、構造に合うか確認すれば十分だ。鶴亀算で25gと出たら、選択肢5（a=25）で確かめる。
a = 25 の確認（30秒）
取り出した食塩\(25 \times 0.04 = 1\) g 減る
加えた食塩\(25\) g 増える
差し引き\(25 - 1 = 24\) g 増加
最終食塩量\(12 + 24 = 36\) g → \(300\)g の \(12\%\) ✓
関連ページ
問3（エ）本検査
令和6年度 本検査 問3（エ）（このページ）
過去問解説 総覧
四本柱と各問インデックス。
解法パターン辞書
この解説で使用した解法パターンの一覧。
単元名ではなく構造で解く
この問題を題材にした北川式の考え方の詳しい説明。
著者｜北川誠二
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