数学の数には、「向き」と「量」があります。
最終更新日：2026-06-25
正負の数でつまずいた君へ
正負の数でつまずくのは、数学が苦手だからではありません。
新しい世界に入っただけです。一緒に、その世界を見ていきましょう。
このページの主張
今まで学んできたのは、目に見える「算数の世界」でした。しかし中学校では、ある日突然、目に見えないものまで扱う「数学の世界」へ放り込まれます。世界が変われば、戸惑うのは当然です。このページは、新しい世界を見るための「地図」です。
今まで君がいた世界
さあ、まずは今まで君がいた世界を、ちょっと振り返ってみよう。
リンゴが5個あって、そこに3個増えたら、8個になる。8個から2個減ったら、6個になる。
テープが5cmあって、そこに3cmつなげたら、8cmになる。8cmから2cm切り取ったら、6cmになる。
数える「個」も、測る「cm」も、増えたり減ったりするだけで、そこに「向き」なんてものは関係なかった。
ここまでは、迷うことなんてなかったはずだ。
点（リンゴ）と棒（テープ）で見る、算数の世界の足す・引く
新しい世界のルール
ところが、ここで一つ、新しいことを教えよう。
数学の数には、「向き」と「量」がある。
——これが、君がこれから足を踏み入れる新しい世界の、最初のルールだ
プラスの数は、右を向いている。マイナスの数は、左を向いている。
リンゴやテープのときには考えなくてよかった「向き」が、これからはついてくる。これが、君を迷子にさせている、いちばんの原因だ。でも安心してほしい。一度この「向き」の感覚を掴んでしまえば、もう迷うことはない。
これから出てくる数は、「向き」と「量」のセットでできている。この、向きと量を両方持った数のことを、「ベクトル」と呼ぶことにしよう。
そして、さっき君が使っていた、向きのない、量だけの数にも、名前をつけよう。あれは、「スカラー」と呼ぼう。
矢印カード：プラスは右向き（青）、マイナスは左向き（赤）
「ベクトルが違うよ」って、本当に正しい？
大人になると、会議や話し合いの場で、こんな言葉を聞くことがあるかもしれない。
「それ、ちょっとベクトルが違うよね」
これは「方向性が違う」という意味で使われている。でも、今、君が学んだことを思い出してほしい。ベクトルとは、「向き」と「量」のセットでできた数だ。
「ベクトルが違う」と言うとき、たいていの人は「向き」の話しかしていない。「量」、つまりどれくらいの熱量や本気度でそれをやろうとしているのか、という話は、ほとんどされていない。
本当は、「向き」が同じでも「量」が全然違えば、それも「ベクトルが違う」はずだ。
君はこれから、向きと量の両方をセットで考える練習をしていく。もしかしたら、いつか会議の場で、「それ、向きは合ってますけど、量の話してませんよね」と言えるようになるかもしれない。
絶対値とは何か
考えてみよう
さて、ベクトルには「向き」と「量」がある。
では、矢印の先についている、矢じりを取ったら、何が残るだろう。
矢じりを取ってみよう。すると、プラスの矢印も、マイナスの矢印も、ただの帯になる。向きの情報がなくなった分、もう、プラスだったのかマイナスだったのか、見分けがつかない。
「向き」が消えて、残ったのは「量」だけだ。
これが、「絶対値」だ。絶対値とは、向きを取り除いて、量だけに戻す操作のことなんだ。
たとえば、+5の絶対値も、-5の絶対値も、どちらも5になる。矢じりを取れば、どちらも同じ長さの帯になるから、当然だね。
矢じりを取ると、プラスもマイナスも、同じ長さの帯になる
足し算（くっつける、そのままの向きで）
それでは、向きと量を持つ数（ベクトル）で、足し算をしてみよう。
「3+8」を考えてみる。
まず、+3の矢印を置く。0の位置から、右に3進んだ場所まで。
次に、+8の矢印を、その続きにつなげる。+3の矢印の先端から、さらに右に8進む。
矢印の先端は、11の位置にたどり着く。
矢印をつなげるとき、向きはそのまま使った。これが、足し算の本当の意味だ。
3+8＝11 向きをそのまま使って、つなげる
足すとは、向きをそのまま使って、くっつけることなんだ。
次に、「8+(-3)」を考えてみよう。
まず、+8の矢印を置く。0の位置から、右に8進んだ場所まで。
次に、-3の矢印を、その続きにつなげる。-3の矢印は、もともと左を向いている。だから、そのままの向き（左）で、+8の矢印の先端につなげる。
矢印の先端は、5の位置にたどり着く。
このときも、矢印をつなげるとき、向きはそのまま使った。+3だろうと、-3だろうと、その数自身の向きのまま、くっつけただけだ。
足すという動詞は、いつも同じだ。今くっついている矢印の先端に、向きを変えずに、次の矢印をくっつけるだけ。
8+(-3)＝5 マイナスの矢印も、そのままの向きでつなげる
引き算（向きを反転させてくっつける）
足すときは、向きをそのまま使って、くっつけた。
では、引くときは、どうなるだろう。
「8-3」を、足すときと同じやり方で、考えてみよう。
まず、+8の矢印を置く。0の位置から、右に8進んだ場所まで。
次に、+3の矢印を、その続きにつなげたい。でも、どの向きでつなげればいいだろう。
+8の続きに、+3(?)をどう つなげようか
足すときと同じように、そのままの向き（右）で、つなげてみよう。
あれ。
+3の矢印は、+8の矢印に重なるだけでは、5の位置から8の位置までを、なぞっているだけだ。どこにも進んでいない。8の先っぽにつけると、足し算になっちゃう。これでは、「8から3減った」ということを、図のどこにも表せていない。そのままの向きでは、引くという動きを、表現できないんだ。
ここで、矢印カードをひっくり返してみよう。
+3の矢印を、後ろ向き（左向き）にする。これは、もう+3ではなく、-3の矢印だ。
この、向きを反転させた矢印を、もう一度、+8の矢印の先端につなげてみる。
進んだ。
8の位置から、左へ3進んで、5の位置にたどり着いた。これが、「8-3=5」だ。
矢印をひっくり返すと、進む。8-3＝5
引くとは、向きを反転させて、くっつけることだったんだ。
——「足す」と「引く」は、「くっつける」という一つの動作の中で、向きをそのまま使うか、反転させて使うかの違いだった
これに気づいた君は、もう一段、新しい世界の奥まで進んだことになる。
実は、これと似たことを、君はもう知っている。「割る」という計算は、「逆数を掛ける」ことだと、小学生のときに習ったはずだ。掛け算と割り算は、もともと一つの仲間だった。
今、足し算と引き算も、同じように一つの仲間になった。向きをそのまま使うか、反転させるか。それだけの違いだったんだ。
さて、ここで君に問いたい
「8-(-3)」は、どうなるだろう。
さっき学んだルールを、もう一度使ってみよう。引くというのは、向きを反転させて、くっつけることだった。
8-(-3)
今回、くっつける数は、-3だ。-3は、もともと左を向いている。これを、反転させる。すると、向きは右になる。
つまり、+8の矢印の先端に、右向きの3の矢印をつなげることになる。
矢印の先端は、8の位置から、さらに右へ3進んで、11の位置にたどり着く。
「8-(-3)=11」
驚いたかもしれない。マイナスを引くと、答えが大きくなった。
でも、これは何も不思議なことではない。
-3という矢印は、もともと左を向いていた。それを「引く」ので、向きを反転させる。左を向いていたものを反転させれば、右になる。
向きを反転させるのは、いつも同じ操作だ。だから、もともと右を向いていた数（プラス）を反転させれば左になり、もともと左を向いていた数（マイナス）を反転させれば右になる。
「マイナスを引くと、プラスになる」というルールを、丸暗記する必要はない。「引くとは、向きを反転させること」という、一つのルールさえ知っていれば、あとはそれを、どんな数にでも、同じように当てはめるだけでいい。
8-(-3)＝11 やることは一緒だ！-3の矢印を反転させて、つなげる
矢印が苦手な人へ。お面をかぶって歩いてみよう
ここまで、矢印で「向きを反転させる」という話をしてきた。
もし、矢印のイメージがまだピンと来ないなら、こんな想像をしてみてほしい。
君は、お面をかぶって歩いている。お面が向いている方向に、君は歩いていく。
その数がプラスのときは、お面を顔につける。マイナスのときは、お面を後頭部につける。
たとえば、+5なら、お面を顔につけて、お面の正面（つまり前方）に5歩進む。
-5なら、お面を後頭部につけて、お面の正面（つまり後方）に5歩進む。後ろに5歩進む、ということだ。
これで、プラスとマイナス、それぞれの数が、どっちを向いているかが分かったね。
では、「引く」は、どうなるだろう。「引く」は、お面の向きとは反対方向に歩くことだ。
たとえば、「8-(-3)」なら。-3はお面を後頭部につけている。お面の正面は後ろを向いている。でも、これを「引く」ので、お面とは反対方向、つまり前方向に3歩進む。
8の位置から、前へ3歩。11の位置にたどり着く。矢印で考えたときと、同じ答えになった。
矢印が難しく感じたら、お面をかぶって歩く自分を、想像してみてほしい。
掛け算と割り算（向きを反転させる回数）
足し算も、引き算も、結局は「くっつける」という一つの動作だった。向きをそのまま使うか、反転させるか。その違いがあるだけだった。
では、掛け算と割り算では、何が起きるだろう。
実は、向きを反転させるという考え方は、掛け算や割り算でも使える。
「割る」は、「逆数を掛ける」ことだった。これは、小学生のときに習った統合だ。だから、これから「掛ける」と書いたときは、逆数を掛ける割り算も含まれているつもりで読んでほしい。
掛け算は、こう考えてみよう。
まず、量（絶対値）どうしを、ふつうに掛ける。これは、算数のときと同じだ。
そのうえで、マイナスが何回出てきたかを数える。
マイナスが1回出てきたら、向きを1回反転させる。マイナスが2回出てきたら、向きを2回反転させて、もとに戻る。
(-3)×(-4)
まず、量どうしを掛ける。3×4=12。
次に、マイナスの数を数える。-3と-4、マイナスは2回出てきた。
反対にして、もう1回反対にすると、元に戻る。だから、答えはプラスだ。
「(-3)×(-4)=12」
もう一つ、3つの数を使って考えてみよう。
(-3)×(-4)÷(-2)
まず、量どうしを計算する。3×4÷2=6。
次に、マイナスの数を数える。-3、-4、-2。マイナスは3回出てきた。
反対にする・反対にする・反対にする。3回繰り返すと、向きは反転したままになる。だから、答えはマイナスだ。
「(-3)×(-4)÷(-2)=-6」
マイナスが偶数回なら、向きはもとに戻る
マイナスが奇数回なら、向きは反転したままだ
これが、「マイナスとマイナスを掛けるとプラスになる」というルールの、本当の理由だ。
まとめ
ここまで、長い道を一緒に歩いてきたね。
算数の世界では、数は「量」だけだった。リンゴが増えたり、テープが伸びたりするだけの世界。
数学の世界に入って、数に「向き」が加わった。これが、ベクトルだった。
足すとは、向きをそのまま使って、くっつけること。引くとは、向きを反転させて、くっつけること。
掛けることも、割ることも、同じだった。量どうしを計算して、マイナスの数だけ、向きを反転させる。
すべて、「向きをそのまま使うか、反転させるか」という、たった一つの考え方でできていたんだ。
人は誰でも、生まれて初めての世界には戸惑うものだ。生まれて初めて、量だけではなく「向き」もある数に出会った。戸惑って当たり前だ。
これから問題を解くときは、矢印を思い出してほしい。この数は、どっちを向いているだろう。足すのか、引くのか。向きはそのままか、反転するか。
長い旅だったね。
でも、もう君は、迷子じゃない。
あとは、その地図を片手に、自分の足で歩いていくだけだ。
よくある質問
正負の数の「足す」「引く」は、算数の「足す」「引く」と何が違うのですか。
算数の足す・引くは、量を増やすか減らすかという動詞でした。数学の足す・引くは、向きと量を持つ数（ベクトル）どうしを、向きをそのまま使ってくっつけるか、向きを反転させてくっつけるかという動詞に変わります。言葉は同じでも、意味そのものが変わっています。
「マイナスを引くとプラスになる」のはなぜですか。
引くとは、その数の向きを反転させてくっつけることです。マイナスの数はもともと左を向いているので、それを反転させると右を向きます。だから、マイナスを引くと、右方向に進む、つまりプラスになります。丸暗記するルールではなく、「引く＝向きを反転させる」という一つの考え方の結果です。
「マイナスとマイナスを掛けるとプラスになる」のはなぜですか。
掛け算・割り算は、量（絶対値）どうしを計算したうえで、マイナスが出てくるたびに向きを反転させる、という操作です。マイナスが2回出てくると、向きは1回反転してもう1回反転し、もとに戻ります。だから答えはプラスになります。マイナスが奇数回なら向きは反転したままなので、答えはマイナスになります。
絶対値とは何ですか。
絶対値とは、向きと量を持つ数（ベクトル）から、向きを取り除いて、量だけに戻したものです。矢印の先についている矢じりを取ると、プラスの矢印もマイナスの矢印も同じ長さの帯になります。+5の絶対値も-5の絶対値も、どちらも5です。